题目求助｜石子分堆问题求助（`n > 1` 即可分堆）

题目描述：
给定一堆共n >= 1个石头，现在有Alice和Bob按照以下规则玩游戏：

1. 若某堆石子个数为k > 1，那么可以将其分为两堆，其对应个数为i + j = k, i >= 1 && j >= 1
2. 如果某一玩家操作之后，没有一堆石子可分，即最终共n堆石子，每堆只有一个石子时，TA将获胜？

两人都以最佳策略轮流进行分堆且Alice先手，求证：当n为某特定值时，某一玩家必定赢比赛？

我的思路：找规律

• 当n = 1时，Alice无法分堆，因此输了比赛。
• 当n = 2时，Alice直接分为两堆，每堆各一个石头，因此赢得比赛。
• 当n = 3时，Alice只能分为(1, 2)（不必考虑顺序，结果都是一样的），即一堆一个石头，一堆两个石头，那么Bob回到n = 2状态，因此Alice输了比赛。
• 当n = 4时，Alice有分为(1, 3)或(2, 2)两种策略。
  • Alice选择(1, 3)，Bob面临n = 3必定失败，因此Alice赢得比赛。
  • Alice选择(2, 2)，Bob只能将其中一堆n = 2分为两堆(1, 1)，然后剩下一堆n=2，因此Alice赢得比赛。
• 当n = 5时，Alice有分为(1, 4)或(2, 3)两种策略。
  • Alice选择(1, 4)，Bob面临n = 4必定胜利，因此先手玩家输了比赛。
  • Alice选择(2, 3)，Bob有对n = 2的堆和对n = 3的堆进行划分共两种选择。（#1，应该是最佳）
    • Bob选择对n = 2堆划分，那么Alice 回到n = 3 状态输了比赛。（#2）
    • Bob选择对n = 3堆划分为(1, 2)，那么Alice 面临(2, 2) 状态一定会输了比赛。（#3）

问题：

虽然可以找规律猜n为奇数时，先手玩家Alice必输，但是我没法证明，请问奆佬们这个可以用公式表达吗？先谢谢大佬了。