本文我们看一个非常基础的不等式，即以下绝对值不等式：

$|x-a|+|x-b|\ge |a-b|$，当且仅当 $x$ 在 $a,b$ 之间时取等号。

该不等式与中位数相关，某些优化问题的最优解是在中位数取到，可以通过该不等式出发去推导，比如货仓选址问题。

本文我们首先证明上述不等式，然后通过该不等式证明货仓选址问题中最优解为中位数的正确性。

三角不等式

对于绝对值来讲，最基本的不等式是以下两个，通过绝对值的定义直接得到。

当 $b>0$ 时，有：

• (1) $|a|<b\iff -b\le a\le b$
• (2) $|a|>b\iff a>b$ 或 $a<-b$

同样非常基本，但需要一些推导的是三角不等式，即 $|a+b|\le |a|+|b|$，当且仅当 $ab\ge 0$，即 $a,b$ 同符号时，等号成立。

在一些抽象的空间，比如向量空间中，三角不等式同样成立，即 $\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}\Vert \le \Vert \mathbf{u}\Vert +\Vert \mathbf{v}\Vert$，下面仅证明绝对值下的三角不等式。

证明

将两边分别平方：

而由于 $2ab\le 2|a||b|$，当且仅当 $a,b$ 同号，即 $ab\ge 0$ 时等号成立。

所以 $|a+b{|}^2\le (|a|+|b|{)}^2$。另一方面，$|a+b|,|a|+|b|$ 均非负。

所以 $|a+b|\le |a|+|b|$，当且仅当 $a,b$ 同号，即 $ab\ge 0$ 时等号成立。

$\square$

一个绝对值不等式

下面我们看本文要讨论的主要不等式，如下：

$|x-a|+|x-b|\ge |a-b|$，当且仅当 $x$ 在 $a,b$ 之间时取等号。

证明

考虑三角不等式 $|s|+|t|\ge |s+t|$，当且仅当 $st\ge 0$ 时取等号。

取 $s=x-a$，$t=b-x$，于是 $s+t=b-a$，代入上述三角不等式，得：

当且仅当 $st=(x-a)(b-x)\ge 0$ 时等号成立。该取等条件等价于 $x$ 在 $a,b$ 之间。

于是得到最终结论：$|x-a|+|x-b|\ge |a-b|$，当且仅当 $x$ 在 $a,b$ 之间时取等号。

$\square$

中位数最优性证明

有了前面的绝对值不等式，我们可以轻易证明货仓选址问题的最优解为中位数。力扣上有安排邮筒相关的问题。

这里我们再描述一下问题，考虑数轴上的 $n$ 个点的集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$，其中 $a_i,i=1,2,\cdots ,n$ 表示第 $i$ 个点的坐标。在数轴上取一个点 $x$，$A$ 中各点到 $x$ 的距离之和为：

则 $x$ 取到 $A$ 中的中位数时，$f(x)$ 取到最小值。

这里中位数的含义是：若 $n$ 为奇数，则中位数为最中间的那个数；若 $n$ 为偶数，则最中间的两个数之间的所有实数均视为中位数。

下面我们通过绝对值不等式证明上述优化问题的结论。

证明

不妨设 $A=\{a_1,a_2,\cdots ,a_n\}$ 已经从小到大排序。一对一对地考虑 $f(x)=\sum _{i=1}^n|x-a_i|$ 中的各个项。

首先考虑最小的 $a_1$ 和最大的 $a_n$ 对应的项：

由绝对值不等式，有 $|x-a_1|+|x-a_n|\ge |a_1-a_n|$，于是有：

当且仅当 $a_1\le x\le a_n$ 时取到等号。

接下来考虑次小的 $a_2$ 和次大的 $a_{n-1}$ 对应的项：

由绝对值不等式，有 $|x-a_2|+|x-a_{n-1}|\ge |a_2-a_{n-1}|$，于是有：

当且仅当 $a_2\le x\le a_{n-1}$ 时取到等号。

当前不等式是第二个不等式，取等条件 $a_2\le x\le a_{n-1}$ 隐含了第一个不等式的取等条件 $a_1\le x\le a_n$，因此两个不等式可以合起来，如下：

当且仅当 $a_2\le x\le a_{n-1}$ 时取到等号。

以此类推，后续还有若干个不等式，且后面的不等式的取等条件隐含着前面的不等式的取等条件，因此这若干个不等式都可以合起来。

下面我们按照 $n$ 为奇数和偶数分别考虑合起来后的最终情况。

当 $n$ 为奇数：

当且仅当 $a_{\frac{n-1}{2}}\le x\le a_{\frac{n+3}{2}}$ 时等号成立。另一方面 $|a_{\frac{n+1}{2}}-x|\ge 0$ 当且仅当 $x=a_{\frac{n+1}{2}}$ 时等号成立。

因此 $f(x)\ge \sum _{i=1}^{\frac{n-1}{2}}|a_i-a_{n+1-i}|$ 当且仅当 $x=a_{\frac{n+1}{2}}$ 时等号成立。

当 $n$ 为偶数：

当且仅当 $a_{\frac{n}{2}}\le x\le a_{\frac{n+2}{2}}$ 时等号成立。

$\square$

总结

在随机变量上面也可以讨论过类似的问题。结论是在随机变量的均值处，均方误差取到最小；在随机变量的中位数处，平均绝对误差取到最小。随机变量上定义的中位数，以及平均绝对误差，可以类比到数轴上的中位数定义、以及总距离。

本文的推导过程中，要注意的就是在多个含取等的不等式的合并中，各不等式的取等条件是否矛盾的问题。