什么是地图填色问题？

在 200 多年前，南非有一个地理学家在绘制地图的时候发现，所有的地图可以只使用四种不同的颜色来标记各个区域，同时可以保证相邻的两个区域不会被标记为一样的颜色，于是他把这一猜想命名为地图填色问题。这一猜想首先被数学家们注意到，可是全世界的数学家苦思冥想了 100 多年，也没能够证明它是否正确。直到 50 年前，一位计算机学家通过电脑穷举了所有的可能性，证明了地图填色猜想是正确的！一开始数学家们并不承认这种证明方法，但随着计算机的普及，越来越多的人认可了使用计算机辅助证明数学问题的方式。

意义所在

有人可能会问，我们为什么要花这么大的精力去研究一个给地图填颜色的问题呢？因为在实际生活中，有很多问题都可以转化为更为广义的图着色问题。例如在学校安排课表时，需要为每个课程分配教室资源，为了避免把两节同一时间段的课程分配到相同的教室中，我们可以把它转化为图着色问题。把每个课程看作拓扑图的一个顶点，为同一时间段的两个课程之间添加冲突边，然后把教室看作可用颜色，那么解决这样一个图着色问题就同时解决了排课表的问题，类似的火车、飞机的调度排班也通过图着色问题来解决。

局部搜索算法

要解决图着色问题，最简单的方法就是暴力枚举出所有的方案并找到可行解，但当拓扑图的规模变大时，搜索方案的组合数会呈指数规模增长。实际生活中遇到的排班调度问题可能是很大规模的图着色问题，这时就需要一些启发式算法了。

让我们先看一种很经典的局部搜索式启发式算法。首先我们为拓扑图中每个顶点随机分配颜色，这样可以得到一个初始解，由于是随机分配的颜色，初始解中可能存在冲突边，所以初始解不一定是可行解。但是我们可以通过一步步的优化来尝试将初始解变成一个可行解，具体的做法是：“在当前解中寻找一个顶点，为它分配一个新的颜色，并且在分配新的颜色之后，整个解中冲突边的数目会有所下降。” 理想情况下，在一定次数的迭代之后，当前解中冲突边的数目将会降为 0，那么这时也就找到了一个可行解。让我们看一个简单的动画演示：

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可以看到，初始解里面有 6 条冲突边，经过两次迭代之后，冲突边的数目就降为了 2 条，可之后就陷入了僵局，冲突边的数目一直没法再下降。仔细观察可以发现，算法陷入了一个死循环，在反复调整节点 1 上的颜色，这就是启发式算法中很常见的陷入局部最优解的现象。

模拟退火算法

为了让算法能够跳出局部最优解，我们可以为算法赋予一定的随机性，也就是在搜索的过程中给予一定的扰动。但是如何控制扰动的度呢？如果扰动太小就起不到什么作用，但扰动太大就成了随机算法。我们知道在生活中，给一块金属加热后，它内部中粒子的随机运动就会变多，而当金属随着时间渐渐冷却时，它内部中的粒子活动就会逐渐变少，最后趋于稳定。那么我们也可以一开始给算法较多的扰动，之后随着迭代步数的增加，逐渐减少扰动。这样算法就有机会探索更多的解空间，而不容易陷入局部最优解，这就是模拟退火算法的思路。下面的动画演示了模拟退火算法跳出最局部最优解的过程：

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可以看到，随着扰动的加入，冲突边的数目可能会增加，但是算法也更不容易陷入局部最优的死循环，最终找到了一个可行解。

相关链接

源码链接：https://github.com/zjl9959/algviz-launch/blob/main/graph/GraphColor.ipynb
开源动画引擎（欢迎 Star）：https://github.com/zjl9959/algviz