简介

2024新课标1卷的数学压轴题和力扣当天的每日一题相似度极高\doge

高考压轴题

当天的每日一题

二者都可以看成是数组里删俩元素后找状态转移关系。力扣每日是删两头，删两尾，删一头一尾三种状态转移（具体去看灵神题解）。高考题也可以看成，一个状态是由删头部4个和删尾部4个（删的这4个自成一组）后构成的新数组状态转移过来的，当然也可能存在其他状态转移过来，例如第二问的(2,13)，但这正好能构成大于，即$dp[4m+2]\ge 2\ast (dp[4m-2]+1)-dp[4m-6]$.
化简成m是$dp[m+1]\ge 2\ast (dp[m]+1)-dp[m-1]$.
上式即是，长为4m+2的数列有的删除方案数等于，删去头部4个元素后长为4m-2的数列所有的方案数+1，以及删除尾部4个元素后的长为4m-2的数列有的方案数然后+1。但由于删除头部和删除尾部的两个数列有重合部分，这部分计算了两次，故再减去重叠部分长为4m-6的数列有的删除方案数。以上方法显然漏考虑了同时删头尾，或者删一头一中间或者一尾一中间的情况，例如第2问就是个没考虑的特例，故等号应改为大于等于（由于第2问已经有个特例，可以直接写成大于）。
上述为一数列二阶递推式，可以轻松求出通项是$n^2+n+1$，再除以总的方案数$C_{4m+2}^2$即可得到概率，最后的答案为$P_n>\frac{n^2+n+1}{8n^2+6n+1}$显然大于1/8

最后附上程序验证结果

PS: 这方法应该比网上目前的方法都简单明了很多