1. 第三章 勾股数组与单位圆

   1. 习题3.1
   2. 习题3.2
   3. 习题3.3
   4. 习题3.4
   5. 习题3.4
   6. 习题3.5

2. 第四章 高次幂之和与费马大定理

   1. 习题4.1
   2. 习题4.2
   3. 代码-斐波那契数列

3. 其他

第三章 勾股数组与单位圆

习题3.1

​ 正如我们所看到的，所有的勾股数组$(a,b,c)$(其中 b 为偶数) 有如下形式：

例如，$(u,v)=(2,1)$给出最小的勾股数组$(a,b,c)$

• (a) 如果 u 与 v 有公因数，解释 $(a,b,c)$不是本原勾股数组的原因.
• (b) 求出没有公因数的整数 $u>v>0$, 使得勾股数组(u^2 - v^2, 2uv, u^2 + v^2)不是本原的
• (c) 制作一个由满足 $1\le v<u\le 10$的所有 u 与 v 值得到的勾股数组表。
• (d) 应用(c)表求出使勾股数组(u^2 - v^2, 2uv, u^2 + v^2)是本原的充分条件。
• (e) 证明在(d)中你给出的条件的确是充分的。

(a) 若$(u,v)=d$, 则 $(a,b,c)=d^2$.
(b) $(u,v)=(3,1)\Rightarrow (a,b,c)=(8,6,10)$
(c)

$$\begin{array}{cccccccccc}u\backslash v& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ 2& (3,4,5)& & & & & & & & \\ 3& & (5,12,13)& & & & & & & \\ 4& (15,8,17)& & (7,24,25)& & & & & & \\ 5& & (21,20,29)& & (9,40,41)& & & & & \\ 6& (35,12,37)& & & & (13,84,85)& & & & \\ 7& & (45,28,53)& & (33,56,65)& & (13,84,85)& & & \\ 8& (63,16,65)& & (55,48,73)& & (39,80,89)& & (15,112,113)& & \\ 9& & (77,36,85)& & (65,72,97)& & & & (17,144,145)& \\ 10& (99,20,101)& & (91,60,109)& & & & (51,140,149)& & (19,180,181)\end{array}$$

(d) $(u,v)=1,且(u,v)$ 不同奇偶。
(e) $(u,v)\ne 1或(u,v)$ 同时为偶数时显然 $(a,b,c)\ne 1$, $(u,v)$ 同时为奇数时，显然 $2\mid (a,b,c)$​
$当(u,v)=1,且(u,v)$ 不同奇偶时，令$s=u+v,t=u-v,则a=st,b=\frac{s^2-t^2}{2},c=\frac{s^2+t^2}{2}$​
易得 s 与 t均为奇数，假设$(s,t)=d>1且d\ne 2\Rightarrow d\mid s+t=2u与d\mid s-t=2v,矛盾$​
得证 $(s,t)=1\Rightarrow (a,b,c)=1$

习题3.2

​ (a) 使用过点$(1,1)$的直线来描述圆

上的所有坐标都是有理数的点。
​ (b) 如果试着用相同的方法来求圆

上所有具有有理坐标的点，会出现什么问题？

(a) 设过点 $(1,1)$的直线斜率为$m=\frac{v}{u}$，则直线方程为$y-1=m(x-1)$, 联合方程求解：

$$\{\begin{array}{llcc}{x}^2+y^2=2& (1)& & \\ y-1=m(x-1)& (2)& & \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{m^2-2m-1}{m^2+1}=\frac{v^2-2uv-u^2}{v^2+u^2}\\ y=\frac{-m^2-2m+1}{m^2+1}=\frac{-v^2-2uv+u^2}{v^2+u^2}\end{array}$$

(b) 不存在有理数点。令$x=\frac{a}{c},y=\frac{b}{c}，(a,b)=1$, 则有$a^2+b^2=3c^2$,易得 $a^2+b^2\equiv 1或2\mathrm{mod}3$ (分类讨论即可)，即方程$a^2+b^2=3c^2$不存在正整数解。

习题3.3

​ 求双曲线

上坐标是有理数的点的公式。(提示：作过点$(-1,0)$且斜率为有理数m的直线，求直线与双曲线第二个交点的公式。)

设过点 $(-1,0)$的直线斜率为$m=\frac{v}{u}$，则直线方程为$y=m(x+1)$​, 联合方程求解：

$$\{\begin{array}{llcc}{x}^2-y^2=1& (1)& & \\ y=m(x+1)& (2)& & \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{1+m^2}{1-m^2}=\frac{v^2+u^2}{v^2-u^2}\\ y=\frac{2m}{1-m^2}=\frac{2uv}{v^2-u^2}\end{array}$$

习题3.4

​ 曲线

上有点$(1,-3)$与$(\frac{-7}{4},\frac{13}{8})$.过这两点的直线与曲线恰好在另一交点相交，求第三个点。你能解释为什么第三个点的坐标是有理数吗？

解：

联合方程：

$$\{\begin{array}{llcc}{y}^2=x^3+8& (1)& & \\ \frac{y+3}{x-1}=\frac{\frac{-7}{4}+3}{\frac{13}{8}-1}& (2)& & \end{array}\Rightarrow (x-1)(4x+7)(121x-433)=0\Rightarrow x=\frac{433}{121}$$

实际上联合直线方程与曲线方程最终可得$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$, 又已知存在两个有理数点是方程的解，则方程可提取因式$a_{1}x+b_{1}x$和$a_{2}x+b_{2}x$, 那么必然存在第三因式$a_{3}x+b_{3}y$,其中$a_3$和$b_3$是有理数。(因为$(a,b,c,d)均有理数$)

习题3.4

​ 曲线

上有点$(1,-3)$与$(\frac{-7}{4},\frac{13}{8})$.过这两点的直线与曲线恰好在另一交点相交，求第三个点。你能解释为什么第三个点的坐标是有理数吗？

解：

联合方程：

$$\{\begin{array}{llcc}{y}^2=x^3+8& (1)& & \\ \frac{y+3}{x-1}=\frac{\frac{-7}{4}+3}{\frac{13}{8}-1}& (2)& & \end{array}\Rightarrow (x-1)(4x+7)(121x-433)=0\Rightarrow x=\frac{433}{121}$$

实际上联合直线方程与曲线方程最终可得$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$, 又已知存在两个有理数点是方程的解，则方程可提取因式$a_{1}x+b_{1}x$和$a_{2}x+b_{2}x$, 那么必然存在第三因式$a_{3}x+b_{3}y$,其中$a_3$和$b_3$是有理数。(因为$(a,b,c,d)均有理数$)

习题3.5

​ 在第一章中介绍了既是平方数又是三角数的自然数，并且在习题1.1中对他们进行了研究。

• (a) 证明每个平方三角数都可用方程$x^2-2y^2=1$的正整数解来描述。(提示：将方程改写为$m^2=\frac{n(n+1)}{2}$.)
• (b) 点(1, 0) 在曲线上。设直线L经过点(1,0)且斜率为 m.求出L 与曲线的另一个交点。
• (c) 取$m=\frac{v}{u}$, 其中$u^2-2v^2=1$.证明(b) 中求出的那个交点的坐标是整数，进而证明你找到了$x^2-2y^2=1$的一个正整数解。(如果有必要，可以改变坐标的正负号)。
• (d) 从 $x^2-2y^2=1$的解$(3,2)$出发，反复应用(b) 和(c)求出更多$x^2-2y^2=1$的解。通过那些解找出另外一些平方三角数的例子。
• (e) 证明这个过程会产生无穷多个不同的平方三角数。
• (f) 证明每个平方三角数都可通过这种方式来构造。(这个很难， 如果不会也不用担心。)

(a) 证明：(我感觉还是我在1.1中自己构建的数对法更为巧妙)
$\because x^2-2y^2=1,2\mid 2y^2\therefore x^2\equiv 1\mathrm{mod}2$,可令$x=2n+1$, 则有$y^2=2n(n+1)\Rightarrow 2\mid y$
可令$y=2m\Rightarrow m^2=\frac{n(n+1)}{2}$,即$\frac{y^2}{4}是一个三角平方数$，说明方程$x^2-2y^2=1$的每一个整数解都对应了一个三角平方数
另一方面，若$T_n=\frac{n(n+1)}{2}$是一个三角平方数，则存在m 使得 $m^2=\frac{n(n+1)}{2}$,
令$x=2n+1,y=2m\Rightarrow x^2-2y^2=8(\frac{n(n+1)}{2}-m^2)+1=1$,即每个三角平方数都对应了一个$x^2-2y^2=1$的整数解。
(b) 联合方程：

$$\{\begin{array}{l}{x}^2-2y^2=1\\ y=m(x-1)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{llccccccccccccccccccccccccc}x=-\frac{1+2m^2}{1-2m^2}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ y=-\frac{2m}{1-2m^2}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

(c) $\because m=\frac{v}{u},且u^2-2v^2=1\Rightarrow x=\mid (u^2+2v^2)x_0-4uv{y}_0\mid ,y=\mid 2uv{x}_0-(u^2+2v^2)y_0\mid$
(d) 应用(c)中推导的公式

$$\{\begin{array}{llccccccccccccccccccccc}(u,v,x_0,y_0)\Rightarrow (x,y)\to \frac{y^2}{4}& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ (3,2,1,0)\Rightarrow (17,12)\to 36& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ (17,12,3,2)\Rightarrow (99,70)\to 1225& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ (99,70,17,12)\Rightarrow (577,408)\to 41616& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

(e) 根据d中的构造方式可得到无穷个三角平方数
(f) 不证。

第四章 高次幂之和与费马大定理

习题4.1

​ 为下述一位(或多位)数学家写一两页的传记。务必要描述他们的数学成就(尤其是数学成果)，以及人生中某些细节。也要描述他们所处的那个时代的科学、政治、社会等方面的历史背景：(a) 阿贝尔，(b) Meiziriac， (c) 戴德金，(d) 丢番图(Diophantus of Alexandria), (e) 狄利克雷， (f) 埃拉托色尼， (g) 欧几里得(Euclid of Alxandria) , (h) 欧拉， (i) 费马， (j) 斐波那契， (k) 高斯， (l) 热尔曼， (m) 希尔伯特， (n) 雅可比， (o) 克罗内克， (p) 库默尔， (q) 拉格朗日， (r) 勒让德，(s) 刘维尔， (t) 梅森，(u) 闵可夫斯基, (v) 牛顿，(w) 毕达哥拉斯， (x) 拉马努金， (y) 黎曼， (z) 切比雪夫。

(a) 阿贝尔：阿贝尔群，也称交换群

• 定理一 ：若$<G,⨂>$是一个群， $<G,⨂>$是阿贝尔群的充要条件是：对任意的$a,b\in G,有(a⨂b)⨂(a⨂b)=(a⨂a)⨂(b⨂b)$

(b) Meiziriac：砝码称重问题(百度只搜到这个)

• 如何仅用四颗砝码称出40磅以内的所有物体(不计小数)。
  • 答: $(1,3,9,27)$, 解析$3=1\times 2+1,9=(1+3)\times 2+1,27=(1+3+9)\times 2+1$​

(c) 戴德金：戴德金分割，定义：

• 定义一： 若将实数集R分成两个子集S 和T，他们满足：

  • (1) $S\ne \varnothing ,T\ne \varnothing$
  • (2) $R=S\cup T$
  • (3) $\forall x\in S,\forall y\in T$, 总有 $x<y$​ (称S为左集，T为右集)

  则称$(S,T)$是实数集的一个戴德金分割，记作$(S,T)$​

(d) 丢番图：丢番图方程(不定方程，整系数多项式方程)，求方程$\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=0$ 的整数解，$a_i$ 可以是无理数
(e) 狄利克雷：狄利克雷定理。

• 定理二： 对于任意互质的正整数$(a,d)$, 有无限多个质数形如$a+nd$​

(f) 埃拉托色尼："地理学之父"，"《地球大小的修正》"
(g) 欧几里得："《几何原本》"，偶完全数，欧几里得算法(又称辗转相除法)。

• 定义二：如果一个数恰好等于除了它本身外的所有真因子之和，则称该数为完全数。
• 定理三(欧几里得完全数公式)： 如果$2^p-1$是素数，则$2^{p-1}(2^p-1)$完全数。

(h) 欧拉：欧拉完全数定理，欧拉函数公式，微分学，积分学，欧拉恒等式。

• 欧拉恒等式：$e^{i\pi }+1=0$;
• 定理四(欧拉完全数定理) 如果n是偶完全书，则n形如$n=2^{p-1}(2^p-1)$, 其中$2^p-1$是梅森素数。
• 定理五(欧拉函数公式) (a) 如果p是素数，$k\ge 1$, 则$\sigma (p^k)=\frac{p^{k+1}-1}{p-1}$;(b) 若$(m,n)=1$,则$\sigma (mn)=\sigma (m)\sigma (n)$. $\sigma (n)=\sum _{i=0}^n{d}_i,d_i\mid n且d_i\ne n$​。

(i) 费马：费马大定理

• 定理六(费马大定理)： $X^n+Y^n=Z^n,n>2$​时无正整数解。

(j) 斐波那契：斐波那契数列，$F_0=0,F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\right(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n\right]$
(k) 高斯：尺规做正十七边形，标准正态分布，二次互反律。
(l) 热尔曼：女数学家，证明了费马大定理中，p 是100以下的素数且与X，Y，Z互素时，$X^p+Y^p=Z^p$无正整数解。
(m) 希尔伯特："《数论报告》"
(n) 雅可比：雅可比行列式，雅可比矩阵，椭圆数论
(o) 克罗内克：矩阵的Kronecker乘法，

• 定理七：设$\theta$为正无理数，$\alpha$为实数，则对任给正数$ϵ$,都存在两个正整数使得$\mid n\theta -m+\alpha \mid <ϵ$.$\alpha =0$​的特殊情况称为狄利克雷定理。

(p) 库默尔："理想数理论"，"超几何级数"
(q) 拉格朗日："无穷级数"，"拉格朗日中值定理"

• 定理八：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$可导，那么在开区间$[a,b]$上至少存在一点$\xi$,使得$f(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

(r) 勒让德：勒让德符号(研究二次剩余)
(s) 刘维尔：证实超越数的存在
(t) 梅森：梅森素数，形如$2^p-1$的素数。
(u) 闵可夫斯基：闵可夫斯基不等式。

• $(\sum _{i=1}^n(x_i+y_i{)}^p{)}^{\frac{1}{p}}\le (\sum _{i=1}^n{x}_i^p{)}^{\frac{1}{p}}+(\sum _{i=1}^n{y}_i^p{)}^{\frac{1}{p}},p>1$

(v) 牛顿：微积分，二项式定理。
(w) 毕达哥拉斯：毕达哥拉斯定理(又称勾股定理)
(x) 拉马努金：$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(4k)!}{(k!{)}^4}\cdot \frac{1103+26390k}{396^{4k}}$​
(y) 黎曼：黎曼猜想。
(z) 切比雪夫：切比雪夫不等式(概率论)。

习题4.2

​ 方程$a^2+b^2=c^2$有许多正整数解，而方程$a^3+b^3=c^3$没有正整数解。求方程

满足$c\ge b\ge a\ge 1$的整数解。

• (a) 方程(*)有解$(a,b,c)=(2,2,4)$.再求出它的三个整数解.(提示：寻找形如$(a,b,c)=(xz,yz,z^2)$的解。当然，并非每组$x,y,z$都可行，因此需要你识别出哪些可行。)
• (b) 如果(A, B, C)是(*)的解，n是任意整数，证明$(n^{2}A,n^{2}B,n^{3}C)$也是(*)的解。(*)的解是本原的指它不是形如$(n^{2}A,n^{2}B,n^{3}C)$，(其中$n\ge 2$)
• (c) 求(*)的4个不同本原解。(即重做(a),但仅要本原解。)
• (d) 解$(2,2,4)$满足a = b.求满足$a=b$的所有本原解。
• (e) 求出(*)的一个满足a > 10000的本原解。

(a)

$$\{\begin{array}{l}(x,y)\Rightarrow (x,y,x^3+y^3)\Rightarrow (x^4+x{y}^3,x^3+y^4,(x^3+y^3{)}^2)\\ (1,1)\Rightarrow (1,1,2)\Rightarrow (2,2,4)\\ (1,2)\Rightarrow (1,2,9)\Rightarrow (1,2,3)\Rightarrow 方式不同,需要验证x^3+y^3是不是已经是平方数，才能保证得到本原解\\ (1,3)\Rightarrow (1,3,28)\Rightarrow (28,84,784)\\ (1,4)\Rightarrow (1,4,65)\Rightarrow (65,260,4225)\\ (1,5)\Rightarrow (1,5,126)\Rightarrow (126,630,15876)\\ (2,3)\Rightarrow (2,3,35)\Rightarrow (70,105,1225)\end{array}$$

(b) $(n^{2}A{)}^3+(n^{2}B{)}^3-(n^{3}C{)}^2=n^6(A^3+B^3-C^2)$​
(c) (a)中所列均是本原解。
(d) $假设a=b>2\Rightarrow 2a^3=c^2\Rightarrow 2\mid c\Rightarrow 2\mid a\Rightarrow 2\mid \frac{c}{2},即16\times (\frac{a}{2}{)}^3=16\times (\frac{c}{4}{)}^2$, 当a > 2时与本原解定义矛盾
(e) $(11,13)\Rightarrow (11,13,3528)\Rightarrow (38808,45864,12446784)$​

代码-斐波那契数列

public int fibonacci(int n){
    if(n <= 0) return 0;
    int f0 = 0, f1 = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        f1 = f1 + f0;
        f0 = f1 - f0;
    }
    return f1;
}

其他

1. 数论概论$\cdot$第一部分
2. 数论概论$\cdot$第三部分
3. 数论概论$\cdot$第四部分
4. 数论概论$\cdot$第五部分
5. 数论概论$\cdot$第六部分