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Algorithms

You are given two integers <code>n</code> and <code>maxValue</code>, which are used to describe an ideal array.

A 0-indexed integer array <code>arr</code> of length <code>n</code> is considered ideal if the following conditions hold:

<ul>
	<li>Every <code>arr[i]</code> is a value from <code>1</code> to <code>maxValue</code>, for <code>0 &lt;= i &lt; n</code>.</li>
	<li>Every <code>arr[i]</code> is divisible by <code>arr[i - 1]</code>, for <code>0 &lt; i &lt; n</code>.</li>
</ul>

Return the number of distinct ideal arrays of length <code>n</code>. Since the answer may be very large, return it modulo <code>109 + 7</code>.

&nbsp;
Example 1:

<pre>
Input: n = 2, maxValue = 5
Output: 10
Explanation: The following are the possible ideal arrays:
- Arrays starting with the value 1 (5 arrays): [1,1], [1,2], [1,3], [1,4], [1,5]
- Arrays starting with the value 2 (2 arrays): [2,2], [2,4]
- Arrays starting with the value 3 (1 array): [3,3]
- Arrays starting with the value 4 (1 array): [4,4]
- Arrays starting with the value 5 (1 array): [5,5]
There are a total of 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 distinct ideal arrays.
</pre>

Example 2:

<pre>
Input: n = 5, maxValue = 3
Output: 11
Explanation: The following are the possible ideal arrays:
- Arrays starting with the value 1 (9 arrays): 
 - With no other distinct values (1 array): [1,1,1,1,1] 
 - With 2nd distinct value 2 (4 arrays): [1,1,1,1,2], [1,1,1,2,2], [1,1,2,2,2], [1,2,2,2,2]
 - With 2nd distinct value 3 (4 arrays): [1,1,1,1,3], [1,1,1,3,3], [1,1,3,3,3], [1,3,3,3,3]
- Arrays starting with the value 2 (1 array): [2,2,2,2,2]
- Arrays starting with the value 3 (1 array): [3,3,3,3,3]
There are a total of 9 + 1 + 1 = 11 distinct ideal arrays.
</pre>

&nbsp;
Constraints:

<ul>
	<li><code>2 &lt;= n &lt;= 104</code></li>
	<li><code>1 &lt;= maxValue &lt;= 104</code></li>
</ul>

idealArrays

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Math

Dynamic Programming

Combinatorics

Number Theory

给你两个整数 <code>n</code> 和 <code>maxValue</code> ，用于描述一个 理想数组 。

对于下标从 0 开始、长度为 <code>n</code> 的整数数组 <code>arr</code> ，如果满足以下条件，则认为该数组是一个 理想数组 ：

<ul>
	<li>每个 <code>arr[i]</code> 都是从 <code>1</code> 到 <code>maxValue</code> 范围内的一个值，其中 <code>0 &lt;= i &lt; n</code> 。</li>
	<li>每个 <code>arr[i]</code> 都可以被 <code>arr[i - 1]</code> 整除，其中 <code>0 &lt; i &lt; n</code> 。</li>
</ul>

返回长度为 <code>n</code> 的 不同 理想数组的数目。由于答案可能很大，返回对 <code>109 + 7</code> 取余的结果。

&nbsp;

示例 1：

<pre>输入：n = 2, maxValue = 5
输出：10
解释：存在以下理想数组：
- 以 1 开头的数组（5 个）：[1,1]、[1,2]、[1,3]、[1,4]、[1,5]
- 以 2 开头的数组（2 个）：[2,2]、[2,4]
- 以 3 开头的数组（1 个）：[3,3]
- 以 4 开头的数组（1 个）：[4,4]
- 以 5 开头的数组（1 个）：[5,5]
共计 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 个不同理想数组。
</pre>

示例 2：

<pre>输入：n = 5, maxValue = 3
输出：11
解释：存在以下理想数组：
- 以 1 开头的数组（9 个）：
 - 不含其他不同值（1 个）：[1,1,1,1,1] 
 - 含一个不同值 2（4 个）：[1,1,1,1,2], [1,1,1,2,2], [1,1,2,2,2], [1,2,2,2,2]
 - 含一个不同值 3（4 个）：[1,1,1,1,3], [1,1,1,3,3], [1,1,3,3,3], [1,3,3,3,3]
- 以 2 开头的数组（1 个）：[2,2,2,2,2]
- 以 3 开头的数组（1 个）：[3,3,3,3,3]
共计 9 + 1 + 1 = 11 个不同理想数组。
</pre>

&nbsp;

提示：

<ul>
	<li><code>2 &lt;= n &lt;= 104</code></li>
	<li><code>1 &lt;= maxValue &lt;= 104</code></li>
</ul>